বিষয়টা ডুয়াল লড়ার মতো। গণিতের সঙ্গে শিক্ষার্থীর ডুয়াল। শিক্ষার্থীর অস্ত্র তার মগজ ও কলম। এ দুটি দিয়ে তাকে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার দুর্বোধ্যতার বিরুদ্ধে যুঝতে হয়। পরীক্ষার খাতা হলো সে যুদ্ধের ময়দান। শিক্ষার্থীদের যেমন, তেমনি গণিতবিদদেরও গাণিতিক সমস্যার সঙ্গে ডুয়াল লড়তে হয়। কিন্তু ফ্রান্সের বিখ্যাত গণিতবিদ এভারিস্ত গ্যালোইস গণিতের সঙ্গে ডুয়ালে মারা যাননি। রাজনৈতিক প্রতিপক্ষের সঙ্গে তাকে ডুয়াল লড়তে বাধ্য করা হয়েছিল। প্রহসনের সে ডুয়ালে গুলি করে গ্যালোইসের জীবনপ্রদীপ নিভিয়ে দেয়া হয়েছিল। ১৮৩২ সালের ৩০ মে ডুয়াল অনুষ্ঠিত হয়েছিল। আগের রাতে বন্ধু অগাস্ত শেভালিয়েরকে দীর্ঘ এক চিঠি লিখেছিলেন তিনি। সেখানে নিজের বীজগাণিতিক তত্ত্বের মৌলিক আইডিয়াগুলোর ব্যাখ্যা দিয়েছিলেন গ্যালোইস। চিঠিটি ১৮৩২ সালে প্রথম প্রকাশ হয়েছিল।
বীজগণিতে যেসব ইউরোপীয় গণিতবিদ মৌলিক অবদান রেখেছেন তাদের মধ্যে অন্যতম ছিলেন এভারিস্ত গ্যালোইস। ১৮১১ সালে ফ্রান্সে তার জন্ম। জন্মের ঠিক ২০ বছর সাত মাস পর ডুয়ালে তার জীবনাবসান ঘটে। এর মধ্যেই তিনি বীজগণিতের ইতিহাসের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ ও চমৎকার তত্ত্বটি তৈরি করে ফেলেছিলেন। এটি ‘গ্যালোইসের তত্ত্ব’ নামে সুপরিচিত। কিন্তু সম্পূর্ণ তত্ত্ব ব্যাখ্যা করার সুযোগ পাননি গ্যালোইস। তিনি রাজতন্ত্রবিরোধী আন্দোলনে অংশ নিয়েছিলেন। দুবার কারাবন্দি হন। শেষ পর্যন্ত ডুয়ালের নামে তাকে হত্যা করা হয়।
এভারিস্ত গ্যালোইস নেই, কিন্তু তার তত্ত্ব এখনো বীজগণিতের পথপরিক্রমায় আলো দেখাচ্ছে। তবে ইউরোপে ব্যাপকভাবে বীজগণিতের চর্চা শুরু হয়েছিল গ্যালোইসের জন্মের অন্তত ৬০০ বছর আগে, তেরো শতকে, ইতালিতে।
ইতালির বুদ্ধিবৃত্তিক জগতে তখন জোয়ার চলছে। গাণিতিক চর্চা সাদরে গৃহীত হলো। গণিতের বিকাশে প্রয়াস চালাতে লাগলেন দেশটির গণিতবিদরা। তবে ইতালিতে গণিতের চর্চা অধিকতর জোরদার হয় অর্থনৈতিক কারণে। ইতালির বণিকদের ব্যবসা তখন ফুলেফেঁপে উঠেছে। ব্যবসায়িক হিসাব-নিকাশের স্বার্থে গাণিতিক চর্চা অবশ্যম্ভাবী হয়ে উঠল। মধ্যযুগের শুরুর দিকেও ব্যবসায়িক ক্ষেত্রে বিনিময় প্রথা প্রচলিত ছিল। বণিকরা তাদের পণ্য নিয়ে বিভিন্ন দেশে ভ্রমণ করতেন। স্থানীয় বাজার ও মেলায় নিজেদের পণ্য বিনিময় করতেন। তখন ইউরোপে ব্যবসার প্রধান কেন্দ্র ছিল ইতালির ভেনিস, জেনোয়া ও পিসা শহর। ইউরোপীয় বণিকরা সাগর পাড়ি দিয়ে উত্তর আফ্রিকা ও মধ্যপ্রাচ্যের বিভিন্ন বন্দরে নামতেন। পশ্চিম থেকে তারা কাঠ, পশম ইত্যাদি পণ্য নিয়ে যেতেন। বিনিময়ে সেখান থেকে রেশম, মসলা, মুক্তা ইত্যাদি মূল্যবান দ্রব্য নিয়ে আসতেন। তেরো শতকে অর্থনীতির প্রকৃতি আমূল পরিবর্তিত হয়ে যায়। মুদ্রার প্রচলন বেড়ে যায়। বিনিময় প্রথার পরিবর্তে মুদ্রা ব্যবস্থা অর্থনীতিতে মূল স্থান দখল করে। লেটারস অব ক্রেডিট, বিলস অব এক্সচেঞ্জ, অ্যাকাউন্টিং ইত্যাদি আবিষ্কৃত হয়। সেগুলোর ভিত্তিতে ব্যাংকিং ব্যবস্থার উত্থান ঘটে। ইন্টারন্যাশনাল ফাইন্যান্সের যাত্রা হয়। এসব উদ্ভাবন নতুন এক বণিক শ্রেণীর জন্ম দেয়। তারা উৎপাদন ও ব্যবসার প্রধান কেন্দ্রগুলোয় বাস করত। তারা পণ্য কিনে জাহাজে করে বিভিন্ন শহরের প্রতিনিধিদের কাছে পাঠিয়ে দিত। প্রতিনিয়ত চিঠি, বিল ও রিপোর্ট বিনিময়ের মাধ্যমে ব্যবসায়িক প্রতিনিধিদের এ বিশাল নেটওয়ার্ক পরিচালিত হতো। অধিকাংশ কোম্পানির প্রধান কার্যালয় লুকা, সিয়েনা, ফ্লোরেন্সসহ ইতালির বিভিন্ন শহরে অবস্থিত ছিল। নতুন এ বণিক শ্রেণীর জীবন তাদের ভ্রাম্যমাণ পূর্বসূরিদের চেয়ে আলাদা ছিল। আগের বণিকদের ব্যবসার পরিধি ছিল ছোট। তাই ব্যবসায়িক পরিকল্পনা তারা মাথায়ই রাখতে পারতেন। বড়জোর ছোট একটি কাগজের টুকরোয় টুকে রাখতেন। হিসাব-নিকাশ তারা আঙুলের কড় গুনে কিংবা ছোট একটি অ্যাবাকাসের (গণনাযন্ত্র) সাহায্যে করতে পারতেন। কিন্তু নতুন বাস্তবতা ছিল অনেক জটিল। তাদের লাভ-ক্ষতির হিসাব করতে হতো। পণ্যের দাম নির্ধারণ করতে হতো। কত পরিশোধ করতে হবে তা ঠিক করতে হতো। যাবতীয় কার্যক্রম পরিচালনার জন্য একটি কার্যকর ব্যবস্থার প্রয়োজনীয়তা দেখা দেয়। ফলে গণিতচর্চার ঝোঁক বাড়ে। সে ধারাবাহিকতায় ইউরোপে বীজগণিতের চর্চাও শুরু হয়। সেখানে নেতৃত্ব দেয় ইতালি। পরের তিন শতক এ বিষয়ে শীর্ষস্থানটি ইতালির গণিতবিদদের দখলে ছিল। বীজগণিতেও উল্লেখযোগ্য অবদান প্রথম তারাই রেখেছিল। ইতালির এসব গণিতবিদের মধ্যে সর্বপ্রথম যার নাম নেয়া হয়, তিনি লিওনার্দো বিগোলো পিসানো। ১১৭০ সালে ইতালির পিসা শহরে জন্ম নেয়া এ গণিতবিদ লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি নামেই সমধিক পরিচিত। ইউরোপের গণিতবিদদের মধ্যে তিনিই প্রথম বীজগণিতে উল্লেখযোগ্য অবদান রেখেছিলেন।
তিনি ছিলেন ইতালির বোনাচ্চি পরিবারের একজন সদস্য। তাই তিনি নিজেকে ফিলিও বোনাচ্চি (বোনাচ্চির পুত্র) বলে পরিচয় দিতেন। ফিলিও বোনাচ্চিই সংক্ষিপ্ত হয়ে ফিবোনাচ্চিতে রূপ নেয়। তার পিতা গুগলিয়েলমো বোনাচ্চি ছিলেন রিপাবলিক অব পিসার সচিব। ১১৯২ সালের দিকে তাকে পিসার ট্রেডিং কোম্পানির দায়িত্ব দেয়া হয়েছিল। পুত্র লিওনার্দোকে তিনি বণিক বানাতে চেয়েছিলেন। ব্যবসায়িক ভ্রমণে লিওনার্দো মিসর, সিরিয়া, বাইজেন্টাইন, সিসিলি ও ফ্রান্সে গিয়েছিলেন। সে সময় তিনি গণিত নিয়ে পড়াশোনা করেন। ১২০০ সালের দিকে তিনি পিসায় ফিরে আসেন। পরবর্তী ২৫ বছর তিনি অনেক বই লিখেছেন। এর মধ্যে চারটি এখনো সংরক্ষিত আছে। সেগুলো হলো লিবার অ্যাবাসি, প্র্যাকটিকা জিওমেট্রিয়া, ফ্লস ও লিবার কোয়াড্রাটোরাম। এগুলো যথাক্রমে ১২০২, ১২২০, ১২২৫ খ্রিস্টাব্দে প্রকাশিত হয়েছিল। গণিতের ওপর তার লেখা একটি চিঠিও সংরক্ষিত আছে। চিঠিটি তিনি লিখেছিলেন দার্শনিক থিওডোরাসের কাছে। তিনি সিসিলিতে বাস করতেন। তিনি সম্রাট দ্বিতীয় ফ্রেডরিকের সভাসদ ছিলেন। ১২২৫ সালে সম্রাটের দরবারে আমন্ত্রিত হন লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি। তাকে সম্রাটের সঙ্গে পরিচয় করিয়ে দেন দরবারের বিখ্যাত জ্যোতির্বিদ ডোমিনিকাস। তাকে চ্যালেঞ্জ করেন গণিতবিদ জন অব পালের্মো। তিনি লিওনার্দোকে কয়েকটি গাণিতিক সমস্যা দেন। লিওনার্দো অবলীলায় সেগুলোর সমাধান করেন। প্রথম সমস্যাটি ছিল এমন, x-এর মান কত হলে x2+5 ও x2_5-এর মান বর্গসংখ্যা হবে? লিওনার্দো উত্তর দিয়েছিলেন। তা আমরা এখানে উল্লেখ করলাম না। আগ্রহী পাঠকরা সমাধান করে নেবেন।
বীজগণিতে লিওনার্দোর সুখ্যাতি ফুলের সৌরভের মতো ক্রমেই প্রসারিত হতে থাকে। পিসা শহর ও এর নাগরিকদের জন্য তার শিক্ষার গুরুত্ব বিবেচনা করে তাকে ১২৪০ খ্রিস্টাব্দে ‘সিরিয়াস অ্যান্ড লার্নেড মাস্টার লিওনার্দো বিগোলো’ উপাধিতে ভূষিত করা হয়। বেতন হিসেবে তার জন্য বার্ষিক ২০ পাউন্ড রৌপ্য মুদ্রা নির্ধারণ করা হয়েছিল। এর সঙ্গে যুক্ত হয়েছিল বিভিন্ন ধরনের ভাতা।
বীজগণিতে লিওনার্দো ফিবোনাচ্চির সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য অবদান হলো ‘লিবার অ্যাবাসি’। এটি ১২০২ খ্রিস্টাব্দে প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। ১২২৮ সালে বের হয়েছিল বইটির দ্বিতীয় সংস্করণ। লিবার অ্যাবাসিতে ১৫টি অধ্যায় আছে। এ বইয়েই তিনি তার বিখ্যাত প্রশ্নটি করেছিলেন, এক বছরে এক জোড়া ইঁদুর থেকে কয় জোড়া ইঁদুরের জন্ম হবে। যদি প্রতি জোড়া ইঁদুর প্রতি মাসে এক জোড়া ইঁদুরের জন্ম দেয়, যেগুলো আবার প্রতি দ্বিতীয় মাসে গর্ভবতী হবে এবং এক বছরে কোনো ইঁদুর মারা যাবে না? এ সমস্যার সমাধান হিসেবেই তিনি তৈরি করেন এক বিখ্যাত রাশিমালা— ০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১...। গণিতে এটি ‘ফিবোনাচ্চি রাশিমালা’ হিসেবে খ্যাত।
বীজগণিতের ময়দানে লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি যে দৌড় শুরু করেছিলেন, যুগে যুগে ইউরোপের গণিতবিদরা সে ব্যাটন হাতে দৌড়েছেন। তাদেরই একজন ছিলেন মায়েস্ত্রো বেনেদেত্তো। ১৪৬৩ সালে তিনি তার বিখ্যাত বই ‘ট্রিটি অব প্র্যাকটিস অব অ্যারিথমেটিক’-এর রচনা সম্পন্ন করেন। পার্চমেন্ট কাগজে লেখা বইটির পৃষ্ঠা সংখ্যা ছিল ৫০০। এ বইয়ের ১৩, ১৪ ও ১৫ অধ্যায়ে তিনি বীজগাণিতিক সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করেন। বেনেদেত্তো তার বইয়ে কয়েকজন গণিতবিদের নাম উল্লেখ করেছেন। এদেরই একজন মায়েস্ত্রো বিয়াজ্জিও। তিনি ১৩৪০ সালে মারা যান। বেনেদেত্তোর বইয়ের ১৩ অধ্যায়ে মায়েস্ত্রো বিয়াজ্জিওর বীজগণিতসংক্রান্ত আলোচনা পাওয়া যায়। বেনেদেত্তো উল্লেখিত আরেক গণিতবিদ ছিলেন আন্তোনিও মাজিংগি। তিনি ফ্লোরেন্সে বাস করতেন। গণিতবিদ হিসেবে তিনি খ্যাতি অর্জন করেছিলেন। ১৩৯০ সালে আন্তোনিও মাজিংগি মারা যান। তার বিখ্যাত বইয়ের নাম ‘ফিওরেত্তি’।
বীজগণিতে অবদান রাখার জন্য চিরস্মরণীয় হয়ে আছেন ১৪৪৫ সালে জন্ম নেয়া ইতালীয় গণিতবিদ লুকা প্যাসিওলি। তার বিখ্যাত বইয়ের নাম ‘সুমা দে অ্যারিথমেটিকা, জিওমেট্রিয়া, প্রোপোরশনি ই প্রোপোরশনালিটা। ১৪৮৭ সালে তিনি বইটি লেখা শেষ করেন। ১৪৯৪ সালে ভেনিস থেকে বইটি প্রকাশ হয়েছিল। বীজগণিতে উল্লেখযোগ্য অবদান রাখা পিসার আরেক বিখ্যাত গণিতবিদ ছিলেন ফিলিপ্পো দার্দি। তিনি মাস্টার দার্দি নামেই সমধিক পরিচিত। বীজগণিতবিষয়ক তার বইটির নাম ‘আলিয়াব্রা আরজিব্রা’। ইতালীয় ভাষায় লেখা বইটি হিব্রুতে অনুবাদ করেছিলেন মোর্দেচাই ফিনজি। তার ভাষ্য অনুসারে, মাস্টার দার্দি ১৩৪৪ সালে ‘আলিয়াব্রা আরজিব্রা’ রচনা শেষ করেছিলেন। ষোলো শতকের ইতালীয় বীজগণিতবিদদের মধ্যে সিপিওনে দেল ফেরো, তারতাগলিয়া ও কার্দানোর নাম উল্লেখযোগ্য। সিপিওনে দেল ফেরো তার বীজগণিতবিষয়ক লেখা কখনই প্রকাশ করেননি। তিনি কয়েকজন বন্ধুর সঙ্গে সেগুলো আলোচনা করেছিলেন। এসব বন্ধুর অন্যতম ছিলেন তার শিষ্য আন্তোনিও মারিয়া ফিওরে। তিনিই বীজগণিতের জগতে সিপিওনে দেল ফেরোকে পরিচিত করান।
এবার ইতালির বাইরে নজর দেয়া যাক। ১৫৪৮ সালে বেলজিয়ামে জন্ম নেয়া সাইমন স্টেভিন বীজগণিতে তার অবদানের জন্য বিখ্যাত হয়ে আছেন। ১৫৮২ সালে তিনি নেদারল্যান্ডসের লেইডেন শহরে আসেন। সেখান থেকে তিনি গণিত বিষয়ে কয়েকটি বই প্রকাশ করেছিলেন। সবই ডাচ ভাষায় লেখা। তার মতে, বৈজ্ঞানিক চিন্তা প্রকাশের জন্য ডাচ ভাষাই সবচেয়ে বেশি উপযোগী। তিনি গণিতের অনেক পরিভাষা উদ্ভাবন করেছিলেন। সেগুলো এখনো ডাচ গণিতবিদদের মধ্যে প্রচলিত। সাইমন স্টেভিন গণিতের নাম দিয়েছিলেন ‘উইসকুন্ডে’। ডাচ শব্দটির অর্থ হলো ‘নিশ্চয়তার বিজ্ঞান’। তার রচনাবলির মধ্যে ‘দ্য টেন্থ’ নামে ৩৬ পৃষ্ঠার একটি পুস্তিকা সবচেয়ে বেশি প্রভাব রেখেছে।
দার্শনিক রেনে দেকার্তেরও বীজগণিতে ভালো দখল ছিল। বর্তমানে বীজগণিতে ব্যবহৃত প্রতীকগুলো মূলত দেকার্তের আবিষ্কার। ১৫৯৬ সালে ফ্রান্সে জন্ম নেয়া এ দার্শনিক তার ‘লা জিওমেট্রি’ প্রবন্ধের একেবারে শুরুতেই বীজগাণিতিক প্রতীকগুলোর সঙ্গে আমাদের পরিচয় করিয়ে দিয়েছেন। প্রবন্ধটি তার বিখ্যাত ‘ডিসকোর্স ডে লা মেথড’ বইয়ের অংশ। বইটি ১৬৩৭ সালে প্রকাশ হয়েছিল। রেনে দেকার্তের সমসাময়িক আরেক ফরাসি গণিতবিদ ছিলেন পিয়েরে দে ফারমেত। বীজগণিতে ১৬০১ সালে জন্ম নেয়া এ গণিতবিদের অবদানও কম নয়।
ব্রিটিশ গণিতবিদ এডওয়ার্ড ওয়ারিংয়ের জন্ম ১৭৩৬ সালে। বীজগণিত বিষয়ে তার বিখ্যাত বইয়ের নাম ‘মেডিটেশনেস অ্যালজেব্রাইকা’। ১৭৭০ সালে এটি অক্সফোর্ড থেকে প্রকাশ হয়েছিল।
মধ্যযুগে ইউরোপীয় গণিতবিদরা বীজগণিতের যে চর্চা শুরু করেছিলেন, তারই ধারাবাহিকতায় এভারিস্ত গ্যালোইসের হাত ধরে আধুনিক বীজগণিত যাত্রা করেছিল। এখনো ব্যাটন পশ্চিমা গণিতবিদদের হাতেই।
নিজাম আশ শামস: লেখক ও অনুবাদক
